Matematičke šale

Darko Žubrinić, Zagreb (1995)

Egzistencijalni kvantifikator \(\exists\)

U vlaku se voze biolog, fizičar i matematičar. Biolog primijeti stado ovaca na livadi, pa reče: "Evo stada crnih ovaca!" Na to će fizičar: "Pogrešno, dragi kolega. Treba kazati - POSTOJI BAREM JEDNA crna ovca u stadu!" Matematičar primijeti: "Niti to nije dobro. Ispravno je reći ovako: postoji barem jedna ovca koja je barem s jedne strane crna!"

Šala na račun matematičara

Jednog lijepog ljetnog dana ukrcaše se dva čovjeka u balon i odletješe. Najednom zapuše jak vjetar i odnese ih u neki nepoznat kraj. Odlučiše se približiti zemlji, te upitati nekog prolaznika u kojem su mjestu. Nakon malo traženja primijetiše nekog čovjeka i viknuše mu iz balona: "Hej! Gdje smo mi sada?" Čovjek pogleda gore i duboko se zamisli. Razmišlja on, razmišlja, i na kraju odgovori: "U balonu!". Ova dvojica u balonu bijahu iznenađeni njegovim odgovorom, i nakon par trenutaka jedan od njih reče: "Ja sam siguran da je taj čovjek matematičar." "Kako si to zaključio?" upita ga njegov kolega. "Pa evo," kaže on, "prvo, razmišljao je prije nego što je odgovorio; drugo, istina je ono što je rekao; i treće - od toga nemamo nikakve koristi!"

Kraljevski putovi

Poznato je da je Euklid (3.st. prije Krista) napisao matematičko djelo "Elementi" u 13 knjiga, najprevođeniju knjigu u povijesti poslije Biblije. Euklid je živio u Aleksandriji, u Egiptu, i vodio školu koja se zvala Museion (odatle dolazi i riječ "muzej"). Prema legendi je tadašnji kralj Ptolemej (Ptolemeus) II Soter, Grk koji je bio i egipatski faraon, postavio Euklidu sljedeće pitanje: "Može li se na neki jednostavan način naučiti geometrija, bez proučavanja vaših Elemenata?" Euklid je na to kratko odgovorio: "Vaše visočanstvo, nema kraljevskih putova u geometriji".

Arhimed

Kaj će nam matematika?

Još jedna legenda o Euklidu. Na kraju prvog predavanja koje je održao jednoj grupi studenata - početnika, Euklida je jedan od studenata upitao: "A što će nam u životu matematika?" Euklid nije odgovorio ništa. Nakon pola sata poslao mu je po svome robu jedan zlatnik i otpustio ga iz škole.

Von Kochova krivulja

O zbrajanju razlomaka

Naš ugledni matematičar prof.dr Stanko Bilinski, kasnije akademik, bio je jednom prilikom, dosta davno, u inspekciji nekom mladom nastavniku na satu matematike u šestom razredu osnovne škole. Tijekom sata prof. Bilinski je bez riječi pratio nastavu. Nakon završetka sata, u zbornici, bez svjedoka, prof. Bilinski reče nastavniku: Dragi kolega, vrlo ste lijepo učenicima objasnili množenje razlomaka: $$ \frac ab\cdot\frac cd=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}. $$ Međutim zbrajanje razlomaka niste dobro objasnili, jer nije točno da je $$ \frac ab + \frac cd = \frac{a+c}{b+d}.$$ Na to mu nastavnik odgovori: Ali profesore, đacima je tako lakše pamtiti!
Iz vlastite prakse znam da i neki studenti koji su zalutali na FER tako zbrajaju razlomke. Ispravno je zbrajati ovako: $$ \frac ab + \frac cd = \frac{ad+bc}{bd}.$$

Teorija i praksa

Studenti matematike i elektrotehnike polaze plesnu školu. Učitelj plesa predlaže ovakvu igru: svaki put kad glazba stane, momci se djevojkama mogu približiti na pola udaljenosti. Matematičari odmah napuštaju dvoranu, jer znaju da nikada neće doći do cilja. Studenti FER-a međutim ostaju. Sljedeće jutro jedan od studenata matematike pita svog kolegu sa FER-a zašto je ostao, jer po teoriji nikada neće doći do cilja. A student elektrotehnike odgovara: "Da, znam da teorija to kaže. Međutim aproksimacija je nakon svega par iteracija bila sasvim dobra za praktične potrebe...!"

narisala Ingrid Wagner-Afrić Narisala Ingrid Wagner-Afrić. Ingrid, hvala Ti!

Dokaz

Mladi, siromašni matematičar objašnjava jednom francuskom plemiću dokaz Pitagorina poučaka: $$c^2=a^2+b^{2}.$$ Objašnjava strpljivo i polako, ali svaki puta plemić odgovara: "Ne razumijem." Nakon više uzaludnih pokušaja mladi instruktor izgubi živce: "Monseigneur, kunem vam se svojom čašću da je Pitagorin poučak istinit!" U taj tren plemić ustaje, ljubazno se nakloni, i s izrazom čuđenja kaže: "Trebali ste mi to odmah reći. Ne bi mi nikad palo na pamet da posumnjam u vašu čast..."

Veličina

Biolozi misle da su kemičari. Kemičari misle da su fizičari.
Fizičari misle da su bogovi.

A Bog misli da je matematičar...

Mandelbrotov skup

Bog i čovjek

Bog je u matematici stvorio prirodne brojeve: $$1, 2, 3,\dots$$ A čovjek sve ostalo.
Izreka potječe od poznatog matematičara Leopolda Kroneckera (1823-1891). Poanta je u tome da je skup prirodnih brojeva beskonačan i neizmjerno složen skup, iz kojega proizlazi cijela matematika. Što se tiče njegove složenosti, spomenimo znameniti, još neriješen problem blizanaca: postoji li u skupu prirodnih brojeva beskonačno mnogo blizanaca, tj. parova prostih brojeva koji se razlikuju za dva? Takvi su npr. (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31) itd.

Eksponencijalna spirala

Izvornik: Symmetry and Ornament, by Slavik V. Jablan
(eksponencijalna ili logaritamska spirala)  

Nula

Skup prirodnih brojeva je $$\mathbb N=\{1, 2, 3,\dots\},$$ a najmanji među njima je \(1\). Zanimivo je da Francuzi skup prirodnih brojeva definiraju malo drukčije, kao skup $$\mathbb N=\{0, 1, 2, 3,\dots\}$$ tj. kod njih prirodni brojevi započinju s nulom. Neki matematičari broje predmete od nula, a ne od jedan. Dakako, onda je ukupan broj za jedan veći od zadnjeg broja. Veliki poljski matematičar Waclaw Sierpinski je navodno na jednom svom putovanju ustanovio da mu nedostaje dio prtljage. "Ma ne dragi!", reče mu žena, "Svih šest komada je tu." "Nemoguće", odgovori Sierpinski, "Brojio sam nekoliko puta. Evo još jednom: nula, jedan, dva, tri, četiri, pet!"


Simpatičan crtež male Eve Feller u Zagrebu iz 1939. u dobi od 15 g. (Ich lerne Mathematik - Učim matematiku, u oblaku iznad Zagreba). Eva je kći Ferde Fellera, najstarijeg brata Vilima Fellera. Fotografija ljubaznošću prof. Marte Zdenković, koja je kći Eve Feller (1924.-2008.).

 

Granica

Kad je u jednoj anketi znameniti matematičar Steinhaus iz Lavova (Lviv, Ukrajina) bio upitan koliko puta je prešao granicu, odgovorio je: "Niti jednom. Ali je granica mene prešla tri puta!"

Eksponencijalna spirala

 

Iracionalni brojevi

Platon, grčki filozof (4. st. prije Krista), navodno je izjavio sljedeće: "Nedostojan je čovjekova imena tko ne zna da dijagonala kvadrata nije sumjerljiva s njegovom stranicom."
Za dvije dužine kažemo da su nesumjerljive ako ne postoji dužina (shvaćena kao "jedinična dužina") s pomoću koje bi se ove dvije mogle izmjeriti kao CJELOBROJNI višekratnik. To je isto što i reći da je omjer zadanih dužina racionalan broj. Biste li Platonovu tvrdnju znali i obrazložiti, tj. dokazati da je $\sqrt{2}$ iracionalan broj?

Negativni brojevi

( Hvala dragom prijatelju Krešimiru Freslu!) Sjede fizičar, biolog i matematičar u kafiću, dugo pijuckaju kavu i gledaju kuću preko puta u koju ljudi ulaze i izlaze. Najprije su vidjeli da su ušle dvije osobe, a zatim, nakon nekog vremena izašle su tri.

Broj e = 2,71828...

(Zahvaljujem dr. Zvonimiru Mariću na informaciji)

Prof. Danilo Blanuša studentima prve godine građevine na početku predavanja postavlja ovakvo pitanje:

U zadnjem redu dvorane grupa Splićana o nečem žustro raspravlja, uopće ne prateći predavanje. Odjednom jedan od njih glasno uzvikne: Na to Blanuša s ushićenjem kaže:
Broj \(e\) je baza eksponencijalne funkcije:
$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{x^k}{k!}+\dots$$
Više o broju e

Dva dana ranije

Danilo Blanuša je u petak (neke godine) trebao putovati avionom. U avionskoj  poslovnici bilo je naznačeno da se karte prodaju dva dana prije leta, pa je došao u srijedu. U srijedu je došao kupiti kartu za petak. Osoba u poslovnici mu je rekla: Blanušin komentar je na to bio: Ovaj su događaj zabilježile i neke dnevne novine.

Događaj s vjerojatnošću nula ne mora biti nemoguć

Profesor Vladimir Devidé mi je godine 2007., tijekom posjeta njemu i njegovoj supruzi Yasuyo Hondo-Devidé u Vinogradskoj ulici u Zagrebu, pripovijedao o nevjerojatnom događaju prigodom jednog od prvih boravaka u Japanu.

Početkom 1960tih bio je u Tokiju u društvu s jednim svojim veoma dobrim i dragim japanskim prijateljem, također matematičarem. Na žalost, nisam mu zapamtio ime. Njih dvojica su, priča Devidé, navratili u neku tokijsku knjižaru, a Devidé je s polica nasumce uzeo jednu knjigu. Bila je to najnovija knjiga iz matematičke logike, tek objavljena u Nizozemskoj. Otvorivši nasumce tu knjigu ugledao je na toj stranici ime svojeg prijatelja. Bila je to doista prva otvorena stranica, odabrana na sasvim slučajan način.

Japanski kolega bio je zapanjen da je prva stranica koju je Devidé u (slučajno odabranoj!) knjizi slučajno otvorio, otkrila upravo njegovo ime. Iznenađenje je bilo tim veće što niti jedan niti drugi uopće nisu znali za tu knjigu. Međutim još je veće iznenađenje uslijedilo odmah trenutak kasnije, kada je na toj istoj stranici profesor Devidé ugledao i svoje vlastito ime!

Naslov ovog priloga predložio je dr. Željko Hanjš.

Ako na slučajan način biramo neki realan broj, vjerojatnost da ćemo odabrati baš racionalan broj iznosi nula! To međutim nije nemoguć događaj. Na pr. broj 8/3 doista možemo odabrati, makar i s vjerojatnošću nula.

Racionalnih brojeva ima beskonačno mnogo. Oni, što više, čine gust skup na realnom pravcu, tj. u svakom, koliko god malom otvorenom intervalu na realnom pravcu, ima racionalnih brojeva. Međutim, iracionalnih brojeva (tj. brojeva koji nisu racionalni), ima "mnogo više" nego racionalnih. Podsjetimo se, racionalan broj je oblika \(\frac {a}{b}\), gdje su \(a\) i \(b\) cijeli brojevi, te \(b\) različit od \(0\). Neki od poznatijih iracionalnih brojeva su \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\), broj \(\pi\), broj \(e\), itd. (zapravo bi trebalo pisati ITD.).

Zabunu izaziva činjenica da često iracionalne brojeve "gledamo" kao njihove racionalne aproksimacije. Na pr. broj \(\pi\) "gledamo" kao \(3.14\), a to je krivo jer je \(3.14\) racionalan broj \(\frac{314}{100}\), a \(\pi\) je iracionalan. Dokaz iracionalnosti broja \(\pi\) je težak, a može se vidjeti u knjizi Danila Blanuše Viša matematika.

Sjećam se jednog poljskog matematičara iz Varšave, koji mi je pripovjiedao da studente voli na ispitu pitati ovo: je li \(3.14\) racionalan broj? Odgovor je, kao što smo vidjeli, potvrdan.

Da iracionalnih brojeva ima jako mnogo vidi se iz očevidne činjenice da je umnožak nekog odabranog iracionalnog broja (na pr. \(\sqrt{2}\)) s bilo kojim racionalnim brojem, opet iracionalan broj. Primijetimo da je skup takvih iracionalnih brojeva također gust na realnom pravcu. Da iracionalnih brojeva "ima bitno više" nego racionalnih brojeva, dokazao je još u 19. st. poznati austrijski matematičar Georg Cantor. Više o tome možete vidjeti u lijepoj knjizi ruskog matematičara Vilenkina Priče o skupovima (postoji prijevod na hrvatski) pisanoj za srednjoškolce, ili u knjizi hrvatskog matematičara Pavle Papića Teorija skupova, pisanoj za studente matematike.

Fizičar i matematičar kuhaju čaj

Jednom su fizičaru i matematičaru dali zadatak da skuhaju čaj. Najprije su fizičaru dali ovakve podatke: imaš lonac napunjen vodom, ugašeni plamenik, upaljač i vrećicu čaja. Fizičar je ovako riješio zadatak: Zatim su matematičaru dali ovakav zadatak: imaš lonac napunjen vodom, upaljen plamenik, upaljač i vrećicu čaja. Matematičar je ovako elegantno riješio zadatak: Zahvaljujem dr. Željku Hanjšu na poslanom štivu.

Mali Ivica i zečevi

Učitelj pita malog Ivicu: Ivica odgovara:  Učitelj opet ponavlja: Ivica opet odgovara: Šest. Učitelj sada pokušava ovako: Ivica odgovara: Pet. Učitelj će na to ushićeno: Ivica odgovara: Šest. Učitelj u čudu pita:  Pa kako to, Ivice?
A Ivica daje jednostavno objašnjenje: Zahvaljujem prof.dr. Zvonku Benčiću.

Pjat pljus pjat = dva pijata

Evo zgodne priče iz Šibenika, navodno istinite. Između dva Svjetska rata bio je u Šibeniku jedan ruski emigrant, prof. matematike, koji nije dobro znao hrvatski.

Pita on hrvatskog đaka
A đak odmah odgovara:

(Objašnjenje: PIJAT u šibenskom govoru znaci tanjur.) Zgodno, zar ne?

Zahvaljujem prof. Miljenku Mayeru.

Dvije pive i geometrijski red \(1+\frac12+\frac14+\frac18+\dots=2\)

Dođe jedan čovjek u birtiju i kaže: "Molim jednu pivu!"

Dođe drugi čovek u birtiju i kaže: "Molim pola pive!".

Dođe treći čovjek i traži četvrt pive, četvrti, pak, osminu, peti šesnaestinu, ...

A konobar će na to: "Dečki, dečki, dečki, ... pa kaj odmah ne velite dvije pive!"

Zahvaljujem prof. Mirjani Hrašovec.

Neka siđe POLOVINA!

Na gradilištu dvanaest radnika stoji na skelama. Dolazi šef gradilišta i vikne: "Neka siđe POLOVINA!"

Pitanje: Koliko je od tih dvanaest ljudi sišlo?

Odgovor: Samo jedan (a ne šest). Naime onaj s prezimenom Polovina.


Zahvaljujem prof.dr. Zvonku Benčiću, koji je tu zagonetku čuo još kao student nekadašnjeg ETF-a (sada FER-a) od profesora Đure Švarca (Schwartza).