Osnovno o matematičkim natjecanjima

Mala povijest natjecanja

U svakoj populaciji od $500\,000$ tisuća ljudi nalaze se potencijalni ssampioni u raznim sportovima, vrhunski glazbenici, znanstvenici i t.d. Kad je u pitanju matematika, posebno je važna rana identifikacija učenika, poticaj i ohrabrenje u radu, suočavanje s kreativnim izazovima te kontakti s učenicima sa sličnim sklonostima.

Svaka zemlja nastoji kroz organizaciju svojeg obrazovanja osigurati uvjete da takve potencijalne mogućnosti postanu i stvarne. Jedan od načina da se to ostvari je kroz razna natjecanja u matematici, kojima sposobni i radini učenici stiču mogućnost da se istaknu među svojim kolegama. Time se razvija zdrav natjecateljski duh.

Jasno je da takva aktivnost spada u one od posebnog društvenog interesa. Cilj matematičkih natjecanja nije, razumije se, da dobivamo samo dobre matematičare. Radne navike stečene kroz natjecanja, sistematičnost u radu, upornost i kritičnost bit će mladom čovjeku od koristi u budućem zanimanju, svejedno kojem.

Prvo zabilježeno natjecanje u matematici održano je u Mađarskoj još 1894. godine. U bivšoj Jugoslaviji je prvo takvo natjecanje održano u Makedoniji godine 1950, a prvo savezno natjecanje 1960. godine. Što se tiče osnovnih škola, savezna natjecanja su započela 1970.

Na međunarodnom planu su prve aktivnosti započele među istočnim zemljama, i to u Rumunjskoj, gdje je održana Prva međunarodna matematička olimpijada 1959., istina, uz nazočnost svega nekoliko zemalja.

Bivša Jugoslavija se vrlo brzo, već 1963. godine, priključila tom pokretu. Natjecanja se održavaju svake godine, i u stalnoj su ekspanziji, tako da se danas već može slobodno govoriti o jednom svjetskom pokretu o kojem se vodi posebna briga u međunarodnim obrazovnim institucijama. Svakako jedna od najznačajnijih je "World Federation of National Mathematics Competitions", sa sjedištem u Canberri, čiji glavni pokretač je bio pokojni predsjednik prof. Peter O'Halloran. Prije dvije godine ta je organizacija započela s izdavanjem časopisa "Mathematics competitions", u kojem surađuju brojni specijalisti iz raznih zemalja, razvijenih i nerazvijenih.

Sve do 1984. g. pripreme i vođenje ekipe bivše Jugoslavije vodila je neprekinuto ekipa profesora iz Beograda: prof. Vladimir Mičić, dr. Zoran Kadelburg, dr. Vladimir Janković i drugi. Nakon 1984. godine organizacija je prešla na Zagreb (mr. željko Hanjš, mr. Uroš Milutinović te autor ovog napisa), a od 1989 na kolege iz Sarajeva (prof. Hamid Kulosman, Foča). Time su i drugi centri u raspadajućoj se ex-Jugoslaviji "stekli" mogućnost da se upoznaju s ovom vrstom obrazovne djelatnosti.

Međunarodne olimpijade

Zadržimo se jedan trenutak na tome kako se organiziraju međunarodne Olimpijade u matematici. Postoji posebna međunarodna komisija koja ima zadatak da brine o tome tko će u idućih nekoliko godina biti domaćin Olimpijade. Obveza je svake zemlje-organizatora da uputi pozive svim zemljama koje su na prethodnim Olimpijadama sudjelovale, bez obzira ima li s njima diplomatske odnose ili ne. Godine 1990. godine domaćin bila Kina, koja, iako na natjecanjima sudjeluje svega nekoliko godina, spada već u svjetsku natjecateljsku elitu, zajedno sa SSSR-om, Rumunjskom, Njemačkom i SAD-om.

Ekipu svake zemlje čini šest učenika (nekada, kad je broj zemalja sudionica bio manji, taj je broj bio osam), te dva voditelja. Jedan od njih je zadužen da sudjeluje u radu međunarodnog žirija kojeg čine po jedan predstavnik iz svake zemlje. žiri treba odabrati šest zadataka iz skupine od oko pedeset do stotinu prijedloga koji stignu domaćinu nekoliko mjeseci prije natjecanja. Taj je posao začuđujuće spor i kompliciran (traje dva dana) u prvom redu jer žiri komunicira na četri svjetska jezika (domaćin je dužan osigurati za tu priliku i prevoditelje), zatim zbog količine predloženih zadataka.

Posebna se pažnja poklanja formulaciji problema, za razne prijedloge se obavljaju glasanja za i protiv. Redoslijed zadataka je obično od lakšeg prema težem (kao i na našim natjecanjima).

Nastoji se da među tih šest olimpijskih zadataka bude svakako uvršten jedan lakši zadatak kojim se omogućuje zemljama s vrlo malim ili nikakvim međunarodnim iskustvom da osvoje neke bodove. Primjetno je da s jedne strane imamo zemlje čiji je ukupni zbir bodova (gotovo) nula, dok su onim najjačima (kojima je uspjeh na natjecanju i pitanje nacionalnog prestiža) zadatci najčešće prelagani. Za međunarodni žiri je to iz godine u godinu sve veći problem. Naime financiranje ovakvih aktivnosti u pravilu ovisi o ostvarenim rezultatima, čime su mnoge od novih nerazvijenih zemalja uslijed svog neiskustva i nedovoljne organizacije jako hendikepirane.

Kad su, neposredno uoči natjecanja, zadatci otipkani na jezicima svih zemalja, priređuje se neobično zanimljiva izložba zadataka, na najrazličitijim jezicima. Posebno su zanimljivi tekstovi zadaća nekih arapskih zemalja, gdje se čak i matematički izrazi pišu s desna na lijevo (npr. $\pi^2r=P$ ili $(x)f=y$), i to arapskim slovima. K tome se u Maroku i drugim frankofonskim arapskim zemljama tekst piše s desna na lijevo, a formule kao kod nas, uobičajenim slovima s lijeva na desno.

Zadatci se rješavaju tijekom dva dana, svaki dan po tri, i to kroz $4.5$ sata. Na natjecanju se u pravilu nagrađuje oko pola od ukupnog broja učenika, sa brojem prvih, drugih i trećih nagrada u približnom omjeru 1:2:3. Od nedavno je uvedena i pohvala, koja se dodjeljuje za barema jedan potpuno rješen zadatak, ako nema dovoljno bodova za nagradu.

Običaj je da u toku natjecanja voditelji ekipa razmijene zadatke koje su koristili na svojim nacionalnim natjecanjima.

Na međunarodnim olimpijadama danas sudjeluje preko sedamdest zemalja (u Argentini su 1997. bile 82 zemlje). Uslijed toga je organizacija natjecanja danas vrlo kompliciran i skup poduhvat. Ona se sve više provodi uz sponzorstvo moćnih kompanija. Npr. glavni sponzor Olimpijade u Australiji 1987. g. bio je IBM, koji nije skrivao svoj golem interes prema mladim stručnjacima upravo iz oblasti primijenjene matematike. Sponzori su u velikoj mjeri omogućili da se kasnije kroz financiranje oživi u prvom redu izdavačka djelatnost (knjige, zbirke zadataka, učenički časopisi) bez koje je ozbiljan pristup natjecanjima nezamisliv.

Za najbolje natjecatelje se kompanije otimaju da im ponude svoje stipendije za studij. Ostala mi je u sjećanju jedna efektna reklama IBM--a u kojoj se ističe da novac uložen u mlade mozgove nije izgubljen novac. Od industrijski razvijenih zemalja do 1992. g. jedino Japan nije sudjelovao na matematičkim olimpijadama.

Domaćin se uvijek trudi da pored samog natjecanja pruži mogućnost gostima da upoznaju zemlju domaćina. Redovita su primanja kod saveznih ministarstava za prosvjetu, nerijetko i kod najviših državnih tijela, što samo potvrđuje ugled kojeg ta međunarodna manifestacija ima u svijetu.

Treba napomenuti da se pojam srednjoškolca u pojedinim zemljama u svijetu jako razlikuje. Tako će npr. u nekim zemljama zapadne Europe učenik koncem srednje škole imati u normalnom redovnom obrazovanju do uključivo dvadeset godina. Upada u oči da su sovjetski natjecatelji bitno mlađi od ostalih: njihov uzrast je maksimalno 17 godina. Niti jedan učesnik međunarodne Olimpijade ne smije imati više od dvadeset godina.

Naravno, svako natjecanje ima svoje junake. Nije se još dogodilo da neki od predloženih zadataka ne bude riješen. Sumnjam da je među natjecateljima netko stekao veću popularnost nego Terence Tao, mali kosooki dječačić iz Australije, koji se počeo natjecati sa svojih devet godina, osvojivši na tri uzastopne olimpijade u kategoriji srednjoškolaca redom treću, drugu i prvu nagradu (u Varšavi, Havani i kod kuće u Canberri 1987.).

Regionalna natjecanja

Spomenimo da se u toku posljednjih dvadesetak godina organiziraju mnoga regionalna natjecanja, koja će se sasvim sigurno i dalje širiti. Navedimo samo takmičenje između Poljske i Austrije, koje je nastalo kao plod međudržavnog sporazuma (voditelj Austrijske nacionalne ekipe je Gradišćanski Hrvat, prof. Mühlgassner), zatim Ibero-američko natjecanje (za Južnu Ameriku, španjolsku i Portugal), natjecanje zemalja Magreba (biv\v se francuske kolonije u Africi), Nordijsko natjecanje, Balkanijadu te od prošle godine Azijsko-Pacifičko natjecanje.

Početkom svibnja 1989. održana je u Splitu Balkanska olimpijada, šesta po redu. Može se reći da je njena organizacija po svemu bila do sada najuspješnija. Prema težini zadataka koje su učenici rješavali, splitsko natjecanje je bilo teže od same Međunarodne Olimpijade (to su izjavili sami učenici i voditelji). Treba reći da Balkanska olimpijada ima za jedan od ciljeva da posluži kao priprema za svjetsko natjecanje u matematici. Rumunjska i Bugarska šalju na to natjecanje ekipu koja je momentalno najbolji šesterac odabran iz šireg kruga od oko 25 kandidata, tako da se ekipe na svjetskom natjecanju znaju pojaviti znatno izmijenjene. Upada u oči da su voditelji Rumunjske ekipe iz reda istaknutih svjetskih znanstvenika (npr. prof Octavian Stanašila, prof. Viorel Barbu, koji je i sam bio natjecatelj na prvoj Matematičkoj olimpijadi 1959.). Rumunji su po svojim rezultatima na natjecanjima u samom svjetskom vrhu, a o njihovoj snazi rječito govori i to da su na Balkanskoj olimpijadi u Ateni 1987. g. svi njihovi učenici osvojili sve moguće bodove, a te godine bili su i svjetski prvaci.

Svake godine starta nekoliko međunarodnih ljetnih škola iz matematike za srednjoškolce, npr. u Washingtonu, Nici, Moskvi i Tallinu. Treba reći da programe pripremaju vrhunski specijalisti. Cijene su međutim za naše uvjete gotovo sasvim nepristupačne.

Spomenimo da se u svijetu održava više natjecanja na temu informatike, koje su u svojoj biti također matematička natjecanja (logika, algoritmi, realizacija na ručcunalu).

Pripreme za međunarodna natjecanja

Na posljednjoj međunarodnoj Olimpijadi u Braunsćweigu je prof. Engel u završnoj riječi spomenuo primjer jednog izraelskog matematičara kojem je prilikom gostovanja u SAD neki birokrat zabranio da objavi svoje rezultate iz teorije kodiranja zbog navodnog interesa za nacionalnu sigurnost.

Iako su materijali koji se koriste za pripreme natjecatelja dostupni svima, ipak je način rada s učenicima dosta tajnovit. Prof. Engel je predložio da se omogući zemljama s manjim iskustvom da prime u goste specijaliste iz drugih zemalja koji bi im u pripremama mogli pomoći. Prvi korak u tom smjeru je već napravljen publiciranjem specijalnog dodatka časopisu "Mathematics competitions" u kojem je opisano dosta detaljno kako se u Njemačkoj vrši odabir najboljeg šestorke učenika.

Selekcija se provodi u tri kruga, i to pod patronatom samog predsjednika države (dr. Helmuta Kohla). Na izboru zadataka radi posebna komisija, koja osobitu pažnju poklanja formulaciji. Najprije se svakom od oko 3000 prijavljenih učenika pismom pošalju četiri zadatka, koje učenici rješavaju kod kuće tijekom dva mjeseca. Svaki učenik potpisuje posebnu izjavu kojom garantira da je zadatke rješavao potpuno samostalno. Očekuje se da u odgovoru bude spomenuta i sva korištena literatura.

Rješenja učenika se pregledavaju tako da se na veći broj adresa stručnjaka pošalju zadaće na ocjenu. Zatim se sve zadaće ponovno šalju istim ocjenjivačima na ponovno ocjenjivanje, ali tako da nitko ne gleda opet iste zadaće. Ako je na nekoj zadaći znatno odstupanje u oba bodovanja, pristupa se trećem bodovanju. Time se postiže maksimalna točnost i objektivnost u ocjenjivanju.

U drugi krug se plasiraju samo oni učenici koji su osvojili prvu i drugu nagradu (što podrazumijeva barem tri potpuno riješena zadatka). Natjecanje u drugom je potpuno isto kao u prvom krugu, jedino što su zadatci mnogo teži i kriterij znatno oštriji. Za plasman u treći krug učenici trebaju riješiti sve zadatke. Učenik može ostati bez nagrade, recimo, ako nije dovoljno jasno definirao oznake koje koristi, ili zbog stilskih pogrešaka.

Treći (završni) krug obavlja se usmeno, pred komisijom od samo dva člana, profesorom na srednjoj školi i nastavnikom na sveučilištu, kroz razgovor koji traje oko jedan sat.

Navedimo za ilustraciju dva zadatka iz prvog kruga:

1. U trokutu su $h_a$, $h_b$ i $h_c$ visine i $r$ radijus upisane kružnice. Dokaži da je trokut jednakostraničan onda i samo onda ako je $$h_a+h_b+h_c=9r$$
   

2. Neka su $a_1$, $b_1$, $c_1$, $d_1$ proizvoljni cijeli brojevi. Definirajmo rekurzivno četiri niza sa: $$\begin{aligned} a_{n+1}&=|a_n-b_n|,\quad b_{n+1}=|b_n-c_n|,\\c_{n+1}&=|c_n-d_n|,\quad d_{n+1}=|d_n-a_n|.\end{aligned}$$
   Dokaži da postoji cijeli broj $k$ takav da je $a_k=b_k=c_k=d_k=0$.

1. Neka su $x$ i $y$ prirodni brojevi takvi da vrijedi $2x^2+x=3y^2+y$. Dokaži da su $x-y$, $2x+2y+1$ i $3x+3y+1$ potpuni kvadrati.
2. Na kružnici je dano $3k$ točaka koje određuju $k$ lukova duljine 1, $k$ lukova duljine 2 i $k$ lukova duljine 3. Dokaži da među tim točkama uvijek postoje dvije koje su dijametralno suprotne.

Donekle sličan odabir vrši se u Češkoj republici. Zadatci se šalju šest puta godišnje, svaki puta po pet, a rješenja se očekuju kroz tri do četri tjedna. Najboljih 30 do 40 učenika poziva se tri puta na godinu u kamp na tjedan dana. Nastoji se da učenici ne rade samo matematiku, nego da se bave i sportom, planinarstvom i t.d. Natjecanje je neobično popularno u cijeloj zemlji.

S obzirom na vrlo kratak ``staž'' najspektakularniji su rezultati koje na natjecanjima postiže Kina. Ona obavlja odabir učenika po američkom sistemu, koji se koristi u oko 25 zemalja, s ciljem da se izvrše objektivne usporedbe o kvaliteti školskih sistema u raznim zemljama na istim (ili analognim) testovima. Kina na temelju takvih natjecanja formira širi izbor od oko 20 učenika, šest mjeseci uoči Olimpijade. Oni se zatim pozivaju u Peking gdje se formira specijalan razred koji radi po posebnom programu s intenzivnim radom na matematici (uz sve ostale predmete). Krajem svakog tjedna se održava interno natjecanje u matematici, a neposredno prije Olimpijade i češće.

U bivšem SSSR-u pripreme najjače ekipe su se obavljale uz vodstvo jednog od najistaknutijih sovjetskih stručnjaka, matematičara svjetskog glasa prof. Boltjanskog. Razumije se, tu je i čitav niz suradnika, entuzijasta, i institucija, od učitelja u školama do sveučilišta i raznih časopisa koji pomažu u tome da se pod brigom najboljih stručnjaka formira najjača nacionalna ekipa. Ista je situacija i u drugim matematičkim velesilama. Sve industrijske velesile su takve.

U Rusiji, Rumunjskoj, Bugarskoj, V. Britaniji, Njemačkoj i SAD-u pripreme traju po mjesec dana. U Hrvatskoj pripreme se održavaju 3-4 tjedna.

U nizu zemalja, pa tako i u Hrvatskoj, pored natjecateljskih susreta održavaju se i razni kampovi, ljetne škole za širi izbor učenika. U Hrvatskoj se ljetna škola mladih matematičara održava obično negdje na moru: Preko na otoku Ugljanu kod Zadra, Beli na Cresu, a zadnjih godina u Dubrovniku.

Među istočnim zemljama je vrlo popularan tzv. turnir gradova, gdje učenici šalju rješenja zadataka koje predlaže međunarodna komisija u Moskvi okupljena u časopisu Kvant. Pri tom su zaista mali gradovi ravnopravni s onim milijunskim, jer se u ukupnom skoru po jednom gradu uzima u obzir i broj stanovnika. Odgovori se šalju u Kvant. Evo dva primjera za ilustraciju:

1. Dokaži da je za svaki prirodan broj $n$ ispunjeno $$\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\dots\sqrt{n}}}}<3.$$
   

2. Krug radijusa 1 je pokriven sa 7 identičnih krugova. Dokaži da su njihovi radijusi barem $\frac12$.

U SAD-u je neobično popularan matematički susret u Philadelphiji koji se, zbog velikog interesa učenika održava istodobno u još jednom gradu. Natjecanja su začinjena raznim društvenim i sportskim igrama koje unose veliku živost među učenike. Nekoliko primjera:

1. Broj $n$ je višekratnik od 7. U binarnom sustavu njegov prikaz neka je $$ n=10110101010101ABC110. $$ Izračunajte $A,B,C$ (Vrijednost za $A,B,C$ su $0$ ili $1$).
2. Zadani su brojevi $A,B,C\in \{0,1,\dots,9\} $. Nađite najmanji prirodni broj $ABC$ takav da je posljednja znamenka aritmetičke sredine brojeva $ABC$, $ACB$, $BAC$, $BCA$, $CAB$ i $CBA$ jednaka $5$.
3. Srednjica trapeza dijeli trapez na dva dijela čiji omjer površina je $1:2$. Naći omjer duljina kraće i dulje osnovice trapeza.

U svijetu se održavaju i međunarodni kongresi o olimpijskim pripremama učenika u matematici. Treba jasno podcrtati golemu važnost rada učitelja i nastavnika s učenicima. Bez podloge koju oni daju u svojim školama nemoguće je zamisliti kvalitetan rad s učenicima.

Veliku važnost za poboljšanje razine nastave matematike u osnovnim i srednjim školama imaju edicije koje su se zadnjih godina pojavile u izdanju poduzeća Element. Učenici i prosvjetari će tu naći mnogo zanimljivog i vrijednog.

Počevši od 1990. g. u Zagrebu je održano nekoliko zanimljivih susreta čiji su organizatori bivši učenici zagrebačkog MIOC-a, Siniša Slijepčević i Miran Božičević. Njihovim entuzijazmom je u Zagrebu održano nekoliko republičkih susreta i mini seminara. Učenici su bili smješteni kod svojih kolega. Veliku požrtvovnost su pokazali i neki studenti, u prvom redu Ivica Keglević, Miljenko Huzak i drugi. Organizirani su i Matematički vikendi (dr. Darko Veljan).

U poslovima oko natjecanja najviše su traga u posljednja tri desetljeća ostavili prof. dr. Vladimir Volenec te prof. dr. Zdravko Kurnik. Kroz njihove ruke prošle su tisuće učenika.

Mislim da će čitatelju biti zanimljivo da pročita neka od imena bivših natjecatelja u matematici iz Hrvatske: 

• akademik Vladimir Paar, 
  
• prof.dr Vladimir Volenec, 
  
• prof.dr. Branko Najman, 
  
• prof.dr. Zvonko Čerin, 
  
• prof.dr. Nikola Sarapa, 
  
• prof.dr. Dragan Miličić, 
  
• dr. Damir Henč, 
  
• prof.dr. Dragutin Svrtan, 
  
• prof.dr. Darko Veljan, 
  
• prof.dr. Mirko Primc, 
  
• prof.dr. Šime Ungar, 
  
• prof.dr. Ljubo Marangunić, 
  
• akademik Marko Tadić, 
  
• prof.dr. Juraj Šiftar, 
  
• prof.dr. Neven Elezović, 
  
• prof.dr. Ivan Mirković, 
  
• prof.dr. Darko Skorin, 
  
• akademik Mladen Bestvina (dopisni član HAZU)
  
• dr. Mladen Lukšić, 
  
• prof.dr. Gordan Savin, 
  
• prof.dr. Robert Manger, 
  
• prof.dr. Uroš Milutinović, 
  
• prof.dr. Pavao Mardešić, 
  
• prof.dr. Hrvoje Šikić, 
  
• prof.dr. Zoran Vondraček, 
• akademik Andrej Dujella,
• prof.dr. Pavle Pandžić, 
  
• prof.dr. Nenad Antonić, 
  
• prof.dr. Ivica Keglević, 
  
• prof.dr. Miljenko Huzak, 
  
• dr. Željko Hanjš, 
  
• prof. Mirela Kurnik, 
  
• mr.sc. Maja Cvitković, 
  
• dr. Mea Bombardelli, 
• prof.dr. Mario Krnić,
• prof.dr. Andrea Aglić Aljinović, 
  
• prof.dr. Siniša Slijepčević, 

autor ovog napisa i mnogi drugi. Kao što sigurno primjećujete, znatan dio danas aktivnih matematičara prošao je natjecateljsku školu. Za većinu gore navedenih osoba natjecateljski je poticaj bio značajan (nerijetko presudan) u odluci da se posvete matematici. Spomenimo da dio njih radi u inozemstvu.

Ovo je tek djelić popisa ograničen samo na one koji su se posvetili matematici, i to uglavnom za Zagreb. Taj bi popis bio znatno duži da smo uključili još i sve one koji rade, recimo, u fizici, elektrotehnici, kemiji, biologiji, medicini i drugdje. Popis koji smo Vam predočili trebao bi poslužiti kao potvrda za to kako se iz masovnosti rađa kvaliteta.

Spomenimo da su se počektom 90tih godina na inicijativu prof. Vinka Bajrovića iz Splita, u Dalmaciji, a uskoro i u cijeloj državi, počela održavati natjecanja za četvrti, peti i šesti razred osnovne škole koja su stekla veliku popularnost.

U mnogim se zemljama održavaju i studentska natjecanja u matematici: studentske olimpijade u Rusiji, Putnam-natjecanje u SAD-u i t.d.

Ovaj se članak temelji na prikazu autora pisanog još 1990.g., a sadrži neznatne dopune.

Matematičke šale

Matematičke izreke

Matematika za osnovne i srednje škole