Vladimir Ćepulić

Profesor Zvonimir Janko i teorija grupa

prikaz na proslavi u čast profesora Janka
26. listopada 2007. u godini njegovoga 75. rođendana

Profesor Zvonimir Janko

Štovane gospođe i gospodo!

Drago mi je da mogu govoriti u ovoj lijepoj prigodi, proslavi u čast profesoru Zvonimiru Janku - u godini njegovoga 75. rođendana.

Srdačno pozdravljam sve nazočne. Ponajprije Vas, štovani gospodine profesore i štovanu gospođu Zoru Janko te sve Vaše i naše goste i prijatelje. Pozdravljam također dekana Matematičkog odjela, profesora Gorana Muića. Posebna mi je radost pozdraviti sve nazočne učenike profesora Janka i učenike njegovih učenika. Mi smo njegova matematička obitelj i radujemo se ovoj proslavi, susretu s njime.

Njemu, našemu učitelju, zahvaljujemo u velikoj mjeri za svoj znanstveni razvoj. Profesor Janko je u matematičkom aspektu našega života imao ključnu ulogu. Pod njegovim vodstvom, neposrednim ili posrednim izrađene su brojne disertacije u inozemstvu i u Hrvatskoj. Profesor Janko pokazao je posebnu brigu za svoje hrvatske učenike - počamši od davanja tema disertacije, omogućavanja boravaka na njegovom institutu u Heidelbergu, posredovanja stipendija, sve do praćenja i vodstva u daljnjem znanstvenom radu.

U godinama od 2000. do 2003. profesor Janko držao je predavanja na postdiplomskom studiju Matematičkog odjela PMF-a na kojima nas je, na samo njemu vlastit način, jasno i precizno, a ujedno s puno humora, uvodio u područje svoga sadašnjega znanstvenoga istraživanja, teoriju p-grupa. I to od samih početaka , elemenata teorije grupa, do aktualnih problema u istraživanju.

Profesor Janko nas i dalje prati svojim prijedlozima izglednih problema, a prihvatimo li prijedlog uvijek je spreman pružiti dragocjenu pomoć svojim savjetom.

Njegov angažman i zauzimanje za naše matematičare zapaženi su i u Njemačkoj, gdje je professor emeritus na Sveučilištu u Heidelbergu. Nedavno je profesor Janko dobio posebno priznanje najviših njemačkih znanstvenih ustanova (Njemačke rektorske konferencije, Deutsche Forschungsgemeinschaft) za prinos razvoju matematike u jugoistočnoj Europi koje je potpisano od predsjednika tih organizacija. Njegovih učenika ima u Hrvatskoj i Bosni i Hercegovini te na Kosovu.

Poštovani gospodine profesore, mi, Vaši učenici, od srca Vam zahvaljujemo za sve što ste nam dali i što nam dajete. U nastavku želim u kratkim crtama reći nešto o životu i radu našega štovanog slavljenika.

Profesor Zvonimir Janko rodio se u Bjelovaru 26. srpnja 1932. Ondje je završio pučku školu i gimnaziju. Nakon mature upisao se na studij matematike PMF-a u Zagrebu. tijekom kojega je došao do izražaja njegov osobiti matematički talent. Pred konac studija bio je privremeno udaljen s fakulteta kao žrtva hajke na hrvatski orijentirane studente koji su položili vijenac na grob Ante Starčevića u Šestinama. Ti su studenti bili uhićeni i poslije osuđeni na zatvorske kazne. Jedan kolega zamolio je profesora Janka da mu za prijatelja, jednoga od uhićenih, skupi od nekih profesora potrebne potpise u indeksu, što je on i učinio ne znajući o kome i o čemu se radi. Nakon istrage i javnih osuda na fakultetskim skupovima u stilu komunističkih montiranih procesa, studenti, pa i profesor Janko, bili su kažnjeni i s te strane. Kad je nakon isteka kazne diplomirao, dobio je posao profesora matematike i fizike na gimnaziji u Širokom brijegu u Hercegovini. Mjesto je u to vrijeme nosilo nametnuto ime Lištica. Bilo je to sudbonosno - ondje je upoznao svoju životnu družicu gospođu Zoru.

Profesor Zvonimir Janko na Sveučilištu u Zagrebu, 2007.

Njegov matematički talent, koji je usmjerio u područje teorije konačnih grupa, već ondje je zaiskrio rezultatima koji su bili objavljeni u inozemstvu. Radilo se o poopćenjima rezultata o rješivim grupama istaknutih svjetskih matematičara kao profesora Helmuta Wielandta i Bertrama Hupperta. Još u Širokom brijegu profesor Janko napisao je svoju disertaciju, za koju je formalni mentor bio prof. Vladimir Devidé. Kao mladi doktor, prof. Janko se natjecao za mjesto na sveučilištu, ali u onim prilikama čak ni u Tuzli nije prošao na natječaju. Natjecao se i na Elektrotehničkom fakultetu u Zagrebu. Pokojni profesor Danilo Blanuša rekao mi je u jednom razgovoru da su ga namjeravali primiti na posao ovdje, ali dok se natječaj rješavao, profesor Janko već je dobio mjesto asistenta na sveučilištu u Bonnu, gdje su očevidno znali bolje ocijeniti njegovu vrijednost. Iz Bonna uskoro odlazi u Australiju, najprije u Canberru, a onda u Melbourne. Ondje, surađujući s tamošnjim kolegama u ozračju intenzivnoga njegovanja teorije grupa, posebno klasifikacije konačnih jednostavnih grupa, uskoro, točnije godine 1964., dolazi i do svojega epohalnoga otkrića - prve Jankove sporadične (iznimne) jednostavne grupe J₁.

To je otkriće zapanjilo matematičke krugove. Nakon gotovo 100 godina od otkrića pet Mathieuovih sporadičnih jednostavnih grupa M₁₁ , M₁₂ (1861.), M₂₂, M₂₃ i M₂₄ (1873.) smatralo se da nema drugih sporadičnih jednostavnih grupa, t.j. takvih koje nisu članice neke beskonačne serije, i da će se uskoro dokazati da uopće nema drugih konačnih jednostavnih grupa osim onih koje su već poznate.

Jedan od vodećih matematičara u teoriji grupa čak je otpisao profesoru Janku koji mu je javio da je našao novu sporadičnu grupu, da je riječ o nekoj pogrješci. Ali bio je u krivu.

Profesor Zvonimir Janko 1964. u dobi od 32 godine, kada je otkrio grupu J₁

Novo otkriće izazvalo je mnoga pitanja. Ima li sporadičnih grupa beskonačno mnogo, hoće li se ikada moći klasificirati, naći sve?

Koliki je to bio "potres"u teoriji grupa svjedočio je na proslavi 65. obljetnice profesora Janka u Mainzu prof. Bertram Huppert, autor i koautor (s Normanom Blackburnom) najopsežnijega, enciklopedijskoga udžbenika - priručnika o konačnim grupama Endliche gruppen I, II, III. On je tom prigodom rekao otprilike ovo:

"Malo me toga iznenadilo u mom životu. Doživio sam i Drugi svjetski rat. Moglo se naslutiti da će doći do rata. Vjerujem da će vas iznenaditi, a nekoga možda i sablazniti ono što ću vam reći. Doista su me iznenadila samo dva dogođaja: otkriće prve Jankove grupe i pad Berlinskoga zida."

Bio sam i sâm svjedok u Göttingenu jednoga blistavoga odraza toga velikoga otkrića. U svojem istraživanju profesor Janko je primjenjivao i modularne karaktere grupa, teoriju kojih je razvio u 40-tim i 50-im godinama prošloga stoljeća jedan od najznamenitijih svjetskih matematičara Richard Brauer. Profesor Richard Brauer, njemački useljenik u SAD, gostovao je u školskoj godini 1964./65. na Matematičkom institutu u Göttingenu, gdje sam u to vrijeme i ja boravio kao stipendist Humboldtove zaklade i slušao njegova predavanja. Prof. Brauer došao je na prvo predavanje nakon Božićno-novoljetnih praznika vidno uzbuđen, držeći u ruci list papira i rekao: "Dobio sam list od Zvonimira Janka iz Australije u kojemu mi priopćuje da je uz pomoć moje teorije modularnih karaktera pronašao novu - sporadičnu konačnu jednostavnu grupu."

Meni je osobno to bio sudbonosan povod da se listom obratim prof. Janku za savjet. U to vrijeme sam se i sam već počeo baviti teorijom grupa, referirajući na jednom seminaru kod profesora Maxa Deuringa. Profesor Janko mi je u odgovoru preporučio da odem u Mainz profesoru Huppertu, što sam i poslušao. Od tada sam povezan s profesorom Jankom.

Profesor Vladimir Ćepulić

O svojem velikom otkriću profesor Janko je govorio kao pozvani predavač na svjetskom matematičkom kongresu 1966. u Nizzi. U idućim godinama počeo je, pokrenut ovim otkrićem, pravi "lov" na sporadične konačne jednostavne grupe, koji je trajao dvadesetak godina. U tim istraživanjima sudjelovali su mnogi matematičari i ukupno je o tome objavljeno više tisuća stranica.

U čemu je važnost toga otkrića? Svaka konačna grupa posjeduje rastući slijed podgrupa, u kojemu je svaka podgrupa normalna u sljedećoj, a kvocijentna grupa bilo kojih dviju susljednih podgrupa u tom slijedu je jednostavna grupa, t.j. nema pravih netrivijalnih normalnih podgrupa. Stoga su jednostavne grupe temeljni "gradbeni materijal " svih grupa. Najjednostavnije su među njima cikličke grupe Z_p prabrojnoga reda. Prva poznata beskonačna serija konačnih jednostavnih grupa bile su alternirane grupe A_n, za n barem 5. Slijedile su 4 serije klasičnih linearnih grupa, a zatim još 10 serija Lie-ova tipa, u istraživanju kojih su se posebno istaknuli Chevalley, Tits, Steinberg, Suzuki i Ree. Ta istraživanja i pokret što ga je svojim otkrićem inicirao profesor Janko trajali su oko 30 godina, od 1955. do 1983., i doveli su do potpune klasifikacije svih konačnih jednostavnih grupa. Ukratko, dokazan je

U svojoj knjizi "The Classification of Finite Simple Groups" istaknuti promicatelj toga istraživanja Daniel Gorenstein kaže: "Još nikad u povijesti matematike nije bilo pojedinačnoga stavka, koji bi bio zahtijevao 10.000 časopisnih stranica zgusnutoga dokazivanja. Tko bi mogao pročitati takav dokaz, a kamoli priopćiti ga drugima? Klasifikacija konačnih jednostavnih grupa je ipak takav stavak - njegov potpuni dokaz, koji je razradilo oko 100 teoretičara grupa kroz razdoblje od tridesetak godina, je spoj oko 500 članaka u časopisima, što otprilike iznosi 10.000 tiskanih stranica."

Bio je to jedan od rijetkih ključnih matematičkih problema koji je do konca riješen. Od 21 grupe otkrivene počevši s prvom Jankovom grupom, profesor Janko otkrio je ukupno 4, koje po njemu nose imena J₁, J₂, J₃ i J₄ , a jednu je otkrio njegov učenik i prijatelj profesor Dieter Held.

Grupa J^₄ bila je i posljednja otkrivena sporadična grupa. Profesor Janko je dakle otvorio i zaključio to veliko istraživanje. Neke od sporadičnih grupa bile su najavljene i po nekoliko godina prije nego je potvrđena njihova egzistencija, katkada dodatnim teškim proračunima, koje su obavile druge osobe.

Među sporadičnim grupama posebno je zanimljiva najveća koju su pronašli Fischer i Griess, t.zv. " grupa monstrum" koja ima preko 8x10⁵³, t.j. preko 800 tisuća oktalijuna elemenata. Ona sadrži kao svoje podgrupe ili kao odsjeke - kvocijentne grupe njezinih podgrupa - 19 od ostalih sporadičnih grupa. Ona ih je da tako kažemo "pokupila". Ipak 6 sporadičnih grupa su u tome iznimke, među njima čak 3 Jankove grupe J₁, J₃ i J₄, te Rudvalisova, Lyonsova i O'Nanova. Među njima je najveća Jankova grupa J₄ s

86 775 571 046 077 562 880

(86 trilijuna 775.571 bilijun 46 milijarde 77 milijuna 562 tisuće i 880) elemenata. Veličinu tog broja možemo predočiti ovom usporedbom: kad bi elementi bili kuglice promjera 1mm i naslagani u ravni slijed, taj bi bio dug oko 9 godina i 2 mjeseca svjetlosti, sezao bi 600 tisuća puta dalje od Sunca i 290 milijuna puta dalje od Mjeseca.

O J₄ je izišla i posebna monografija ruskoga matematičara A. A. Ivanova, pod naslovom The fourth Janko's group od 233 stranice, koju imate ovdje na uvid.

Grupa J₁ sa 175.560 elemenata najmanja je od svih novih sporadičnih grupa, od nje su manje samo M₁₁ i M₁₂ , a može se apstraktno karakterizirati kao jedina nekomutativna jednostavna grupa s abelovim 2-Sylowljevim podgrupama i s involucijom kojoj je centralizator izomorfan izravnom umnošku grupe reda 2 i alternirane grupe A₅ reda 60. Ovaj je slučaj bio iznimka u jednom zajedničkom istraživanju profesora Janka i znamenitoga matematičara Johna Thompsona u smjeru karakterizacije Reeove serije jednostavnih grupa ²G₂(3²ⁿ⁺¹). On je i doveo do otkrića znamenite grupe J₁.

Profesor Janko pokušavao je dokazati jednu tvrdnju, koju se smatralo ispravnom proučavajući pretpostavljeni najmanji protuprimjer. Umjesto protuslovlja pokazalo se da taj protuprimjer opstoji i da se radi o novoj grupi.

Sredinom 60-tih godina bile su poznate beskonačne serije jednostavnih grupa, Mathieuove grupe i Jankova grupa J₁. Nastojanje oko klasifikacija konačnih jednostavnih grupa temeljilo bi se na sljedećem algoritmu.

Pretpostavi se da opstoje nepoznate jednostavne grupe. Među njima ima neka grupa G najmanjega reda. Za nju onda vrijedi:

1) Red |G| grupe G je paran broj;
2) Ako je H prava podgrupa od G i jednostavna grupa, onda je H jedna od poznatih jednostavnih grupa;
3) G je nova jednostavna grupa.

Ukoliko se uz ove pretpostavke dođe do protuslovlja znači da su sve jednostavne grupe već poznate. Ukoliko se pak pokaže da takva grupa opstoji, onda je ona nova i odmah ju se uključuje u popis već znanih grupa i postupak se ponavlja.

Pretpostavka 1) posljedica je stavka koji kaže da nijedna neabelova grupa neparnoga reda nije jednostavna, a dokazali su ga Walter Feit i John G. Thompson 1963. u jednom članku od 255 stranica (Pacific J. Math. 13 (1963), 775-1029), dotad najduljem u matematičkoj literaturi. Kasnije se dokazalo da za jednostavne grupe G vrijedi i 4 | |G|. Stoga svaka jednostavna grupa ima elemente reda 2, t.zv. involucije. Richard Brauer iznio je već 1954 ovu ideju: U konačnoj neabelovoj jednostavnoj grupi izabrati neku involuciju z i promatrati njezin centralizator C_G(z)=H, t. j. grupu svih elemenata u G koji komutiraju sa z. Pokazati da tip izomorfizma grupe H određuje i tip izomorfizma grupe G.

I doista centralizatori involucija imaju silan utjecaj na cijelu jednostavnu grupu. Na temelju poznavanja takvoga centralizatora može se izgrađivati cijela grupa, koja može biti i milijune puta brojnija (ovo podsjeća na mogućnost kloniranja u biologiji). Polazeći od centralizatora involucija poznatih jednostavnih grupa klasificiralo se jednostavne grupe s takvim centralizatorima involucija. Pri tome su pronađene i neke nove sporadične grupe, jer se neki takvi centralizatori pojavljuju u više grupa. Kad se to jednom znade može se takva klasifikacija koristiti u daljnjem istraživanju. Ukoliko neka jednostavna grupa ima jednostavnu podgrupu s takvim centralizatorom neke involucije, onda je ta izomorfna jednoj od tako klasificiranih podgrupa. U tim istraživanjima istaknuli su se profesor Dieter Held i njegovi brojni učenici u Mainzu, koji su po njemu također potekli iz škole profesora Janka, a neki su od njih nastavili svoja istraživanja kao asistenti prof. Janka u Heidelbergu.

Profesor Janko našao je grupe J₂, J₃ i J₄ istražujući pretpostavljene, hipotetičke, jednostavne grupe s "umjetnim" centralizatorima involucija, t.j. takvima koji se nisu pojavljivali u nijednoj od poznatih jednostavnih grupa. Nakon brojnih pokušaja i iskustava iz tih pokušaja našao je dva plodna centralizatora, od kojih je jedan bio izvor za J₂ i J₃, a drugi za J₄. Red grupe J₂ je 604.800, a grupe J₃ je 50.232.960. Redove grupa J₁ i J₄ već smo naveli.

Professor Zvonimir Janko na Sveučilištu u Zagrebu, 2007.

Osim iznašašća novih sporadičnih grupa profesor Janko je provodio i brojna druga istraživanja, koja su objavljena u najuglednijim svjetskim časopisima.

Nakon australskih godina više je godina boravio u Sjedinjenim Američkim Državama na Ohio State University u Columbusu, u jakom središtu istraživanja teorije konačnih grupa.

Početkom 70-tih godina, na poziv Sveučilišta u Heidelbergu, vratio se u Europu, u Njemačku, gdje je nastavio sa svojim znanstvenim djelovanjem.

Kad je završena klasifikacija konačnih jednostavnih grupa, profesor Janko počeo se 80-tih godina baviti primjenom teorije konačnih grupa u kombinatorici, posebno u konstrukciji kombinatoričkih struktura, o čemu će govoriti profesor Šiftar.

Njegova iskustva u teoriji grupa omogućila su mu nove pristupe kombinatoričkim problemima što je rezultiralo novim metodama i jakim rezultatima u tom području.

U trećem, sadašnjem razdoblju, na prijelazu tisućljeća, profesor Janko se počinje baviti teorijom p-grupa. To su grupe kojima je brojnost |G|=p^k, gdje je p prabroj, a k prirodan broj, ili 0. Zašto su važne p-grupe? Među ostalim zato što po Sylowljevim stavcima svaka konačna grupa za svaki prabroj p, koji dijeli red grupe G, p | |G| , ima t.zv. Sylowljeve p-podgrupe. Što je Sylowljeva podgrupa? Ako je p^t najviša potencija od p koja je djelitelj od |G|, dakle ako p^t dijeli |G|, ali p^t+1 više ne dijeli, onda je Sylowljeva p-podgrupa od G svaka podgrupa od G reda p^t. Sylowljevi stavci kažu za takve podgrupe ne samo da opstoje, nego i to da su sve međusobno izomorfne, t.j. u svemu jednake, te da je svaka p-podgrupa od G sadržana u nekoj Sylowljevoj. Red grupe umnožak je redova njezinih Sylowljevih p-podgrupa za sve p i po jedna p-podgrupa za svaki p izvode cijelu grupu kao najmanju podgrupu koja sve njih sadrži. U tom smislu su i Sylowljeve podgrupe, slično kao - na drugi način - jednostavne grupe, temeljni elementi u građi grupe.

Već je prvi članak profesora Janka u tom području snažno odjeknuo. Vodeći znanstvenik toga područja prof. Jakov Berkovič, iseljenik iz bivšega Sovjetskoga Saveza u Izrael, koji je intenzivno istraživao i pisao monografiju o p-grupama ocijenio je taj članak kao najvažniji u zadnjih 30 godina. U nastavku je profesor Janko tako intenzivno istraživao i tolikom brzinom "gomilao" nove važne rezultate, da je Berkovič odustao od prvotne namjere da izda knjigu već 2001., jer je shvatio da bi s obzirom na važnost i množinu novih rezultata prof. Janka knjiga već u času pojavljivanja bila "zastarjela" - ne bi bila odraz suvremenog stanja. Izdavanje knjige se odgađalo iz godine u godinu, pa će se, umjesto 2001., početi izdavati tek ove ili iduće godine. Imat će tri dijela Theory of finite p-groups I, II , III, treći u koautorstvu s profesorom Jankom.

U teoriji p-grupa ima mnoštvo neriješenih problema pa će i navedena knjiga imati popis od više stotina takvih.

Problemi u teoriji p-grupa su najčešće problemi klasifikacije tipa - traže se sve grupe kojih podgrupe ispunjaju stanovite uvjete.

Članci profesora Janka iz toga područja objavljuju se u najuglednijim svjetskim časopisima kao Journal of Algebra, Journal of Group Theory, Archiv der Mathematik, Journal für reine und angewandte Mathematik, Israel Journal of Mathematics, ali i u hrvatskom Glasniku matematičkom.

Zvonimir Janko i Vladimir Ćepulić, Zagreb, 2007.

Želim ovom prigodom posebno zahvaliti profesoru Janku za njegovu potporu i usmjerivanje moga matematičkoga rada, također i u ime ostalih njegovih izravnih i posrednih učenika koje je vodio u njihovom znanstvenom radu.

Vjerujem da sam unekoliko uspio dati sliku o prinosu i ulozi profesora Zvonimira Janka u teoriji grupa. Veselimo se i ponosni smo na njega, jer je potekao iz naše hrvatske sredine, zahvalni mu, jer je i radeći u svijetu uvijek vodio brigu o nama u domovini, sretni da smo i sada svjedoci njegove stalne i neumorne snage u istraživanju.

Dragi gospodine profesore, želimo Vam još mnogo uspješnih istraživanja, zdravlja, mira i zadovoljstva, i radostan duh.

Hvala Vam! Živjeli nam dugo i sretno!

prof.dr. Vladimir Ćepulić
University of Zagreb
Faculty of Electrical Engineering and Computing
Department of Applied Mathematics
Unska 3
10000 Zagreb
Croatia

Zahvaljujem prof.dr. Vladimiru Ćepuliću na ljubaznom dopuštenju da njegovo predavanje bude objavljeno na ovom webu (D.Ž.). Fotografije.

Vladimir Ćepulić: Group theory and Polya-Redfield theorem

Ovdje prenosimo i kratku ali važnu biografsku skicu koju je napisao sam profesor Janko povod njegova veoma zakašnjelog primitka u članstvo HAZU godine 1993. Njegovo članstvo nije moglo biti moguće tijekom razdoblja ex-Jugoslavije. Biografija je pisana hrvatskim jezikom, i objavljena u Vjesniku HAZU, vidi [Janko, str. 180].

Professor Janko delivered a lecture at the Croatian Academy of Sciences and Arts in Croatian, entitled "Kako sam pronašao četiri sporadične grupe" (How I discovered four sporadic groups), March 24th, 1993, published with the above biographic sketch in [Janko].

Gimnazija u Bjelovaru, koju je pohađao profesor Zvonimir Janko. (Fotografija iz 2023.)

Marko Curać: Razgovor sa Zvonimrom Jankom

Profesor Zvonimir Janko